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面積(めんせき)とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、の量である。立体物の表面の面積の合計を特に表面積(ひょうめんせき)と呼ぶ。

◆ 面積の単位

・ m²(平方メートル、平米(へいベい)とも) - SI組立単位

・ アール - 100 m²

・ ヘクタール - 10,000 m²

・ km²(平方キロメートル) - 1,000,000 m²

◇ 古いイギリスの単位

今日では以下のように定義されている。

・ 平方フィート - 0.09290304 m²

・ 平方ヤード - 9 平方フィート - 0.83612736 m²

・ 平方パーチ - 30.25 平方ヤード - 25.2928526 m²

・ エーカー - 160 平方パーチまたは 43,560 平方フィート - 4,046.8564224 m²

・ 平方マイル - 640 エーカー - 2.5899881103 km²

◇ 古い日本の単位

・ 勺(しゃく) - 0.033058 m²(体積の単位の勺とは別)

・ 合(ごう) - 10 勺 - 0.33058 m²(体積の単位の合とは別)

・ 坪(つぼ)・歩(ぶ) - 30 合 - 3.30579 m²

・ 畝(せ) - 30 坪 - 99.17355 m²

・ 段・反(たん) - 10 畝 - 991.7355 m²

・ 町(ちょう)・町歩(ちょうぶ) - 10 段 - 9,917.355 m²

・ 尺坪(しゃくつぼ) - 0.09183 m²

・ 帖・畳(じょう) - 0.5 坪 - 1.6528926 m²

・ 方丈(ほうじょう) - 9.182736453 m²

◇ その他の単位

・ ドゥナム

・ 甲

・ バーン

◆ 面積を求める公式

◇ 平面

基本的な面積を計算する公式をいくつか示す。

・ 長方形・正方形: ab (a = 縦の長さ、b = 横の長さ)

・ 菱形: ab/2 (向かい合う一組の頂点の距離(対角線の長さ)を a、もう一本の対角線の長さを b とする)

・ 台形: (B + b)h/2 (B と b はそれぞれ平行な辺の長さ、h = 平行な辺の間の距離)

・ 平行四辺形: ah (a = 底辺の長さ、h = 高さ)

・ 平行四辺形: |A × B| = |A||B|sinθ (A, B は平行四辺形を張る独立なベクトル、"×" はベクトルの外積、"| |" はベクトルの大きさ、θ は二つのベクトルのなす角)

・ 三角形: ah/2 (a = 底辺の長さ、h = 高さ)、1/2absinθ(a、b = 辺の長さ、θ = 2辺のなす角の大きさ(rad))、ヘロンの公式

・ 各頂点の座標が与えられた多角形: 座標法を参照

・ 円: πr ² (π = 円周率、r = 半径)

・ 扇形:r²θ/2 (θ = 中心角の大きさ(rad))

・ 楕円:πab(a、b = 半長軸及び半短軸の長さ)

・ 正多角形: Pa/2 (P = 周辺の長さ、a = 多角形の辺心距離(中心から辺の中心までの長さ))

・ 格子多角形:ピックの定理

・ アステロイド曲線に囲まれた部分:3πa/8 (アステロイド曲線の方程式 x^2/3 + y^2/3 = a^2/3)

・ カージオイド曲線に囲まれた部分:3πa/2 (カージオイド曲線の方程式 r=a(1+cosθ))

◇ 立体

立体の表面積、側面積を求める公式を以下に示す。

・立方体の表面積: 6s² (s = 一辺の長さ)

・直方体の表面積: 2((lw) + (lh) + (wh)) (l = 縦の長さ、w = 横の長さ、h = 高さ)

・円柱の側面積: 2πrh (r = 底面の半径、h = 高さ)

・斜切円柱の側面積: πr(h₁+h₂) (h₁ = 最大母線の長さ、h₂ = 最小母線の長さ)

・円錐の側面積: πar (a = 母線の長さ、r = 底面の半径)

・頭を切った円錐の側面積: πa(R+r) (a = 母線の長さ、R,r = 両底面の半径、h = 高さ)

・円柱の表面積: 2πr (h + r) (r = 底面の半径、h = 高さ)

・円錐の表面積: πr (r + a) (r = 底面の半径、a = 母線の長さ)

・球の表面積: 4πr ² (r = 半径)

円以下の公式は、正確には積分を使って正当化される。さらに幅広い図形についてこの概念を定義するためには、積分を避けて通ることはできない。

◆ 定義不良な面積 Ill-defined areas

選択公理を受け入れると、「意味のある面積を定義できない図形」が存在することを証明できる (ルベーグ測度を参照)。

このような「図形」(簡単に図示することは出来ない)はタルスキーの円積問題 () に関係している(三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」とバナッハ=タルスキーのパラドックスがある)。

このような集合は現実の世界では生じない。

◆ 関連項目

・ 長さ

・ 体積

・ 総合幾何学

・ 面積の比較

・ 国の面積順リスト

◆ 外部リンク

・ [外部リンク] 度量衡換算(面積)

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